Question

（2012•溫州二模）已知公差不為O的等差數(shù)列{a_n}，a₁=1且a₂ a₄-2，a₆成等比數(shù)列．
（1 ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}的通項公式是b_n=2^n-1，集合A={a₁，a₂，…，a_n…}，B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}．將集合A∩B中的元索按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得(a4-2)2=a2•a6，利用等差數(shù)列的通項公式代入可求d，進(jìn)而可求通項
（II）解法一：利用組合數(shù)的性質(zhì)展開可得b_n=2^n-1=（3-1）^n-1=3K+（-1）^n-1（K∈Z），結(jié)合a_n的通項公式可知3K+（（-1）^n-1=3m-2，從而n必為奇數(shù)，從而可得數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解
法二：由題意可知，數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的公共項，可令2^n-1=3m-2，可判斷2ⁿ=2•2^n-1=6m-4=3（2m-1）-1不是數(shù)列{c_n}的項，2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ=12m-8=3（4m-2）-2是數(shù)列{c_n}的項，從而可得數(shù)列{c_n}的是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d
由題意可得(a4-2)2=a2•a6
即（3d-1）²=（1+d）（1+5d）
解得，d=3或d=0（舍）
∴通項公式a_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）解法一：b_n=2^n-1=（3-1）^n-1=

C

0 n-1

•3n-1-

C

1 n-1

•3n-2+…+(-1)n-2

C

n-2 n-1

•3+(-1)n-1

C

n-1 n-1

=3K+（-1）^n-1（K∈Z）
∵a_n=3n-2
∴3K+（（-1）^n-1=3m-2，從而n必為奇數(shù)
∴數(shù)列{c_n}是以a₁=b₁=1為首項，4為公比的等比數(shù)列
∴cn=4n-1
Sn=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

法二：由題意可知，數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的公共項
令2^n-1=3m-2
則2ⁿ=2•2^n-1=6m-4=3（2m-1）-1不是數(shù)列{c_n}的項
2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ=12m-8=3（4m-2）-2是數(shù)列{c_n}的項
∴數(shù)列{c_n}的是以以a₁=b₁=1為首項，4為公比的等比數(shù)列
∴cn=4n-1
Sn=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是具備一定的 邏輯推理及運算的能力