Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+x²+ax，討論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系即可判斷函數的單調性．

解答： 解：函數的導數為f′（x）=x²+2x+a，
若△=4-4a≤0，即a≥1，此時f′（x）=x²+2x+a≥0恒成立，此時函數單調遞增．
若△=4-4a＞0，即a＜1時，f′（x）=x²+2x+a=0，解得x=

-2± 4-4a

2

=-1±

1-a

，
當x＞-1+

1-a

或x＜-1-

1-a

時，f′（x）＞0，此時函數單調遞增，
當-1-

1-a

＜x＜-1+

1-a

時，f′（x）＜0，此時函數單調遞減，
故此時函數的單調遞減區(qū)間為（-1-

1-a

，-1+

1-a

），
遞增區(qū)間為（-1+

1-a

，+∞），和（-∞，-1-

1-a

）．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，注意討論a的取值范圍對函數導數的影響．