Question

已知函數f（x）=．
（1）若函數f（x）在x=0處取極值，求a值；
（2）如圖，設直線x=-1，y=-2x，將坐標平面分成I、II、III、IV四個區(qū)域（不含邊界），若函數y=f（x）的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內，試判斷其所在的區(qū)域，并求其對應的a的取值范圍
（3）試比較2012²⁰¹¹與2011²⁰¹²的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得+，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數的定義域為（-1，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，又直線y=-2x恰好過原點，所以函數y=f（x）的圖象應位于區(qū)域Ⅲ內，于是f（x）＜-2x，由此能求出a的取值范圍．
（3）由（2）知，函數m（x）=在x∈（e-1，+∞）時單調遞減，故函數p（x）=在x∈（e，+∞）時，單調遞減，故，由此能證明2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
解答：解：（1）∵，
∴+，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（x）=1+a-2=0，
∴a=1，經檢驗a=1符合題意，
故a=1．
（2）∵函數的定義域為（-1，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，
又直線y=-2x恰好過原點，
所以函數y=f（x）的圖象應位于區(qū)域Ⅲ內，
于是f（x）＜-2x，
即，
∵x+1＞0，∴a，
令m（x）=，∴，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）時，m′（x）＞0，m（x）單調遞增，
x∈（e-1，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）單調遞減．
∴，
∴a的取值范圍是：a＞．
（3）由（2）知，函數m（x）=在x∈（e-1，+∞）時單調遞減，
∴函數p（x）=在x∈（e，+∞）時，單調遞減，
∴，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴l(xiāng)n（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=2011，則2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
點評：本題考查利用導數求閉區(qū)間上函數最值的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進行等價轉化．