Question

已知函數(shù)f（x）=alnx++x（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a∈（-∞，0）時，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證：（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

解：（I）f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=+1（x＞0），
根據(jù)題意，有f′（1）=-2，
所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=．
（II）f′（x）=（x＞0），
（1）當(dāng)a＞0時，因為x＞0，
由f′（x）＞0，得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a＜0時，因為x＞0，
由f′（x）＞0，得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0，得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函數(shù)f（x）在（-2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，-2a）上單調(diào)遞減；
（III）證明：由（Ⅱ）知，且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a，
∴g′（a）=ln（-2a）-2，
令g′（a）=0，得a=-．
當(dāng)a變化時，g′（a），g（a）的變化情況如下表：

a	（-∞，-）	-	（-，0）
g′（a）	+	0	-
g（a）	遞增	極大值	遞減

∴-是g（a）在（-∞，0）上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是g（a）的最大值點．
所以g（a）_max=g（-）=-ln[-2×（-e²）]-3（-）=-lne²+=．
所以，當(dāng)a∈（-∞，0）時，g（a）≤成立．
分析：（I）確定f（x）的定義域，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，可得f′（1）=-2，從而可求實數(shù)a的值；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（III）由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈（-∞，0）時，函數(shù)f（x）的最小值為g（a），且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a，求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最大值，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求導(dǎo)．