Question

在平面直線坐標(biāo)系xOy中，已知圓C在x軸上截得線段長(zhǎng)為2

3

，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2

2

（Ⅰ）若圓心C到直線y=x的距離為

2

2

，求圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（x，y）在圓C上，求點(diǎn)M到直線y=-x距離的最大值，及（x-6）²+（y-7）²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓心和半徑，根據(jù)條件建立方程組，即可求出圓的方程．
（Ⅱ）在、根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，以及兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y），圓的半徑為r，
∵圓C在x軸上截得線段長(zhǎng)為2

3

，
∴y²+（

3

）²=r²，即y²+3=r²，
∵在y軸上截得線段長(zhǎng)為2

2

，
∴x²+（

2

）²=r²，x²+2=r²，
兩式消去r，得，即y²+3=x²+2
化簡(jiǎn)得：x²-y²=1，（x＞y）
∵圓心C到直線y=x的距離為

2

2

，
∴

|x-y|

2

=

2

2

，即|x-y|=1，
即x-y=1，∴1=x²-y²=（x-y）（x+y）=x+y，
解得x=1，y=0，即圓心C（1，0），
∵y²+3=r²=3，∴半徑r=

3

，
則圓的方程為（x-1）²+y²=3．
（Ⅱ）圓心C到直線x+y=0的距離d=

|1+0|

2

=

2

2

＜

3

，
則點(diǎn)M到直線y=-x距離的最大值為d+r=

2

2

+

3

．
設(shè)B（6，7），則（x-6）²+（y-7）²的幾何意義為|BM|的最小值，
∵|BC|=

(6-1)2+72

=

35+49

=2

21

，
∴|BM|的最小值為2

21

-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求解，以及兩點(diǎn)間距離和點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，綜合考查圓的性質(zhì)．