Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點為極點，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）把曲線和的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線上恰有三個點到曲線的距離為，求曲線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：；曲線的直角坐標(biāo)方程為；
（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為．

解析試題分析：（1）對于曲線，把已知參數(shù)方程第一式和第二式移向，使等號右邊分別僅含、，平方作和后可得曲線的直角坐標(biāo)方程；對于曲線，把代入極坐標(biāo)方程的展開式中即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程．
（2）由于圓的半徑為，所以所求曲線與直線平行，且與直線相距時符合題意．利用兩平行直線的距離等于，即可求出，進(jìn)而得到曲線的直角坐標(biāo)方程．
試題解析：（1）曲線的參數(shù)方程為，即，將兩式子平方化簡得，
曲線的直角坐標(biāo)方程為：；
曲線的極坐標(biāo)方程為，即，
所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．
（2）由于圓的半徑為，故所求曲線與直線平行，且與直線相距時符合題意．由，解得．故曲線的直角坐標(biāo)方程為．
考點：圓的參數(shù)方程；直線與圓的位置關(guān)系；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．