Question

已知函數(shù)f（x）=（|x|-b）²+c，函數(shù)g（x）=x+m．
（1）當(dāng)b=2，m=-4時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）當(dāng)c=-3，m=-2時(shí)，方程f（x）=g（x）有四個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將b=2，m=-4代入函數(shù)解析式，根據(jù)f（x）≥g（x）恒成立將c分離出來，研究不等式另一側(cè)函數(shù)的最大值即可求出c的取值范圍；
（2）將c=-3，m=-2代入函數(shù)解析式得（|x|-b）²=x+1有四個(gè)不同的解，然后轉(zhuǎn)化成（x-b）²=x+1（x≥0）有兩個(gè)不同解以及（x+b）²=x+1（x＜0）也有兩個(gè)不同解，最后根據(jù)根的分布建立關(guān)系式，求出b的取值范圍．
解答：解：（1）∵當(dāng)b=2，m=-4時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，
∴c≥x-4-（|x|-2）²=，由二次函數(shù)的性質(zhì)得c≥-．
（2）（|x|-b）²-3=x-2，即（|x|-b）²=x+1有四個(gè)不同的解，
∴（x-b）²=x+1（x≥0）有兩個(gè)不同解以及（x+b）²=x+1（x＜0）也有兩個(gè)不同解，
由根的分布得b≥1且1＜b＜，
∴1＜b＜．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及二次函數(shù)的最值和一元二次方程根的分布，屬于中檔題．