點P(2,2)在拋物線C:y2=2px(p＞0)上,拋物線C上動點A、B不同于原點O.

(1)求拋物線的方程.

(2)若·=0,求證：直線AB過定點.

(3)若直線AB恒過定點M(6,0),求∠AOB的最小值.

答案：(1)解:∵P(2,2)在拋物線y2=2px上,∴4=2p·2.∴2p=2.∴拋物線方程為y2=2x.

(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則·=x1x2+y1y2且y12=2x1,y22=2x2.

∵·=0,∴·+y1y2=0.∴y1y2(y1y2+4)=0.∵y1y2≠0,∴y1y2=-4.

kAB=.∴直線AB的方程為y-y1=(x-x1),

即(y1+y2)y-y12-y1y2=2x-2x1.又y12=2x1,y1y2=-4,∴(y1+y2）y=2(x-2).∴直線AB過定點(2,0).

(3)解:kOA==,kOB=，不妨設(shè)y1＞0,y2＜0.

則∠AOB為直線OB到OA的角，∴tan∠AOB=.

∵直線AB過點M(6,0),∴設(shè)直線AB的方程為x=ay+6,代入y2=2x,

得y2-2ay-12=0,得y1y2=-12.10分tan∠AOB=(y1+)≥·2=3(當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=2,取等號),∴∠AOB的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四點，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉興二模）如圖，已知拋物線C1：x2=2py的焦點在拋物線C2：y=
12
x2+1上．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過拋物C1上的動點P作拋物線C2的兩條切線PM、PN，切點M、N．若PM、PN的斜率積為m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由一個小區(qū)歷年市場行情調(diào)查得知，某一種蔬菜在一年12個月內(nèi)每月銷售量P（t）（單位：噸）與上市時間t（單位：月）的關(guān)系大致如圖（1）所示的折線ABCDE表示，銷售價格Q（t）（單位：元/千克）與上市時間t（單位：月）的大致關(guān)系如圖（2）所示的拋物線段GHR表示（H為頂點）．
（Ⅰ）請分別寫出P（t），Q（t）關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？
（Ⅱ）圖（1）中由四條線段所在直線 圍成的平面區(qū)域為M，動點P（x，y）在M內(nèi)（包括邊界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），將動點P（x，y）所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如1≤2x-3y≤3類比為1≤
x2y3
≤3），試列出P（x，y）所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)預(yù)測試卷及最后一講（解析版） 題型：解答題

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（Ⅰ）請分別寫出P（t），Q（t）關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？
（Ⅱ）圖（1）中由四條線段所在直線 圍成的平面區(qū)域為M，動點P（x，y）在M內(nèi)（包括邊界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），將動點P（x，y）所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如1≤2x-3y≤3類比為），試列出P（x，y）所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值．

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（Ⅰ）請分別寫出P（t），Q（t）關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？
（Ⅱ）圖（1）中由四條線段所在直線 圍成的平面區(qū)域為M，動點P（x，y）在M內(nèi)（包括邊界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），將動點P（x，y）所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如1≤2x-3y≤3類比為），試列出P（x，y）所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值．

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