【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)是
的極值點(diǎn),求
,并求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,證明
.
【答案】(1),
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,增區(qū)間為
;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由求得
,再確定
的正負(fù),從而確定
的單調(diào)區(qū)間;
(2)由得
,
,構(gòu)造新函數(shù)
,
,只要證明
即可,利用導(dǎo)數(shù)求出
的最小值即可.只是要注意
的唯一解
不可直接得出,只能通過
的零點(diǎn)
來研究
的最小值
,只要說明
即可.
(1),
由是
的極值點(diǎn)知,
,即
,所以
.
于是,定義域?yàn)?/span>
,且
,
函數(shù)在
上單調(diào)遞增,且
,
因此當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
,
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
,增區(qū)間為
.
(2)當(dāng),
時,
,從而
,則
,
令,
,則
在
單調(diào)遞增,
且,
,
故存在唯一的實(shí)數(shù),使得
.
當(dāng)時,
,
遞減;當(dāng)
時,
,
遞增.
從而當(dāng)時,
取最小值.
由得
,則
,
,
故,
由知,
,故
,
即當(dāng)時,
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:經(jīng)過點(diǎn)
,橢圓C的離心率為
.
,
是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任意點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)M為的中點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)
,使得
;若存在,請求出
的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在直線,使得對任意的
,
,對任意的
,
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,多面體是由底面為的直四棱柱被截面
所截而得到的,該直四棱柱的底面為菱形,其中
,
,
,
.
(1)求的長;
(2)求平面與底面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓
,如圖,
分別交
軸正半軸于點(diǎn)
.射線
分別交
于點(diǎn)
,動點(diǎn)
滿足直線
與
軸垂直,直線
與
軸垂直.
(1)求動點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)過點(diǎn)作直線
交曲線
與點(diǎn)
,射線
與點(diǎn)
,且交曲線
于點(diǎn)
.問:
的值是否是定值?如果是定值,請求出該定值;如果不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.若將曲線
(
為參數(shù))上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>
(縱坐標(biāo)不變),然后將所得圖象向右平移2個單位,再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線C的普通方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)P,線段AB的中點(diǎn)為M,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)場更新技術(shù)培育了一批新型的“盆栽果樹”,這種“盆栽果樹”將一改陸地栽植果樹只在秋季結(jié)果的特性,能夠一年四季都有花、四季都結(jié)果.現(xiàn)為了了解果樹的結(jié)果情況,從該批果樹中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本,測量這些果樹的高度(單位:厘米),經(jīng)統(tǒng)計(jì)將所有數(shù)據(jù)分組后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求;
(2)已知所抽取的樣本來自兩個實(shí)驗(yàn)基地,規(guī)定高度不低于40厘米的果樹為“優(yōu)品盆栽”,
(i)請將圖中列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為“優(yōu)品盆栽”與
兩個實(shí)驗(yàn)基地有關(guān)?
優(yōu)品 | 非優(yōu)品 | 合計(jì) | |
| 60 | ||
| 20 | ||
合計(jì) |
(ii)用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批果樹的生長情況,若從該農(nóng)場培育的這批“盆栽果樹”中隨機(jī)抽取4棵,求其中“優(yōu)品盆栽”的棵樹的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:+
=1(a>b>0)的離心率為
,直線l:x+2y=4與橢圓有且只有一個交點(diǎn)T.
(I)求橢圓C的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo);
(Ⅱ)O為坐標(biāo)原點(diǎn),與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線l′與直線l交于點(diǎn)P,試判斷是否為定值,若是請求出定值,若不是請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;
(2)設(shè)a>0時,討論函數(shù)g(x)=的單調(diào)性.
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