Question

已知函數f（x）=Asin（ωx-

π

3

），（A，ω為常數，且A＞0，ω＞0，x∈R）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數y=f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求f（

π

2

）的值；
（3）已知f（

α

2

-

π

12

）=

6

5

，α∈（

π

2

，π），求cos（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，根據定點到相鄰零點正好是半個周期，求出函數的周期
（2）由周期求出ω，可得函數的解析式，從而求得f（

π

2

）的值．
（3）由f（

α

2

-

π

12

）=

6

5

，α∈（

π

2

，π），求出cosα的值，可得sinα的值，再利用兩角和差的余弦公式求得cos（α-

π

4

）的值．

解答： 解：（1）從圖可知，函數y=f（x）的最大值A=2，
∵

T

2

=

11π

12

-

5π

12

=

π

2

，∴T=π，即最小正周期為π．
（2）∵ω=

2π

T

=

2π

π

=2，∴函數y=f（x）的表達式為f(x)=2sin(2x-

π

3

)．
∴f(

π

2

)=2sin(2×

π

2

-

π

3

)=2sin(π-

π

3

)=2sin

π

3

=

3

．
（3）∵f(

α

2

-

π

12

)=2sin[2(

α

2

-

π

12

)-

π

3

]=2sin(α-

π

2

)=-2cosα=

6

5

，
∴cosα=-

3

5

．
∵α∈(

π

2

，π)，∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴cos(α-

π

4

)=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

=-

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

2

10

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，同角三角函數的基本關系、兩角和差的余弦公式的應用，屬于基礎題．