Question

已知函數(shù)f（x）=，若對于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊邊長的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，則f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個(gè)式子的取值范圍由k-1的符號(hào)決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉(zhuǎn)化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)k 的取值范圍．
解答：解：因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
f（x）==1+，
令t=2^x++1≥3，則y=1+（t≥3），
當(dāng)k-1＞0，即k＞1時(shí)，該函數(shù)在[3，+∞）上單調(diào)遞減，則y∈（1，]，
當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，y∈{1}，
當(dāng)k-1＜0，即k＜1時(shí)，該函數(shù)在[3，+∞）上單調(diào)遞增，y∈[，1），
當(dāng)k＞1時(shí)，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，故 ≤2，∴1＜k≤4；
當(dāng)k=1時(shí)，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當(dāng)k＜1時(shí)，∵≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且 ≤f（x₃）＜1，故 ≥1，∴-≤k＜1；
綜上所述：-≤k≤4．
故答案為：-≤k≤4
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于難題．