如圖，底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心，且側(cè)棱都相等的四棱錐，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面的頂角為30°，一甲蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)繞棱錐側(cè)面爬行一周回到A點(diǎn)，這只甲蟲(chóng)應(yīng)按怎樣的路徑爬行，才能使它爬行的路程最短？并求最短路程．

答案：略
解析：

將此四棱錐P——ABCD沿PA剪開(kāi)，再將它側(cè)面展開(kāi)，連接，交PB、PC、PD于E、F、G點(diǎn)，然后再將此四棱錐的展開(kāi)圖形還原，則甲蟲(chóng)應(yīng)按A→E→F→G→(A)的路徑爬行，所經(jīng)過(guò)的路程最短．

∵，

∴在中，

∴在中，

，PG=PE=2

∴在四棱錐P——ABCD的側(cè)棱PB、PC、PD上分別取點(diǎn)E、F、G，使得，再連結(jié)AE、EF、FG、GA．

∴這只甲蟲(chóng)應(yīng)按A→E→F→G→A的路徑爬行所經(jīng)過(guò)的路程最短，且最短路程為6．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD（如圖）底面是邊長(zhǎng)為2的正方形．側(cè)棱PA⊥底面ABCD，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）直線(xiàn)PC與平面PBA所成角的正弦值為
3
3
，求PA的長(zhǎng)；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求二面角P-MN-Q的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD（如圖）底面是邊長(zhǎng)為2的正方形．PA⊥平面ABCD，PA=2，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-MN-Q的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

如圖，底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心，且側(cè)棱都相等的四棱錐，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面的頂角為30°，一甲蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)繞棱錐側(cè)面爬行一周回到A點(diǎn)，這只甲蟲(chóng)應(yīng)按怎樣的路徑爬行，才能使它爬行的路程最短？并求最短路程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，底面是正方形的四棱錐–，平面⊥平面，===2．

（I）求證：⊥；

（II）求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．

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