Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）求異面直線D₁E與A₁D所成角．
（2）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，證明

DA1

•

D1E

=0，可求異面直線D₁E與A₁D所成角；
（2）D做DG垂直CE于G，連接D₁G，則∠D₁GD為二面角D₁-EC-D的平面角，求出BE，即可求出AE．

解答： 解：（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設AE=x，則D（0，0，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0）．
∴

DA1

=（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1），
∴

DA1

•

D1E

=0，
∴異面直線D₁E與A₁D所成角為

π

2

（2）過D做DG垂直CE于G，連接D₁G，則∠D₁GD為二面角D₁-EC-D的平面角，
由題意得，∵二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，
∴∠D₁GD=

π

4

，
∴D₁D=DG=1，
∵Rt△DGC≌Rt△CEB，
∴BE=GC=

3

，
從而AE=2-

3

．

點評：本題考查空間角，考查向量法的運用，考查學生的計算能力，正確作出面面角是關鍵．