Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-（a+2）lnx-2
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求證：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0．
（2）若a＜-2，探求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求證：+++…+＞-（++）（n≥4，n∈N^*）

Answer 1

（1）證明：∵a=1，x≥1時(shí)，，
∴f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（1）=0；
（2）解：
∴a∈（-4，-2）時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
a=-4，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0+∞）；
a＜-4時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），，單調(diào)減區(qū)間為；
（3）證明：由（1）得：當(dāng)x＞1時(shí)，x²+x-2＜3lnx，
∴
∴
∴，，，…，
∴+++…+＞（1++）-（++）=（-（++）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，即可證得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先證明，再x分別取2，3，…，n，疊加即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．