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在兩個各項均為正數的數列an、bn(n∈N*)中,已知an、bn2、an+1成等差數列,并且bn2、an+1、bn+12成等比數列.
(Ⅰ)證明:數列bn是等差數列;
(Ⅱ)若a1=2,a2=6,設(q>0為常數),求數列cn的前n項和Sn
【答案】分析:(Ⅰ)根據等差數列和等比數列的性質聯(lián)立方程求得an+1=bnbn+1,進而求得an=bn-1bn,代入2bn2=an+an+1,求得2bn=bn-1+bn+1,判斷出數列bn是等差數列.
(Ⅱ)2bn2=an+an+1求得b1,根據(1)中的結論求得數列{bn}的通項公式,進而根據an=bn-1bn,求得an.進而Cn的通項公式可得先看當q=1時,Cn=n,進而根據等差數列的求和公式求得前n項的和;再看q≠0時,應用錯位相減法求得前n項的和.最后綜合可得答案.
解答:解:(I)由題意知,
又∵數列an、bn各項都是正數,∴an+1=bnbn+1,則an=bn-1bn
代入2bn2=an+an+1,得2bn2=bn-1bn+bnbn+1
即2bn=bn-1+bn+1,所以數列bn是等差數列.

(II)∵a1=2,a2=6,又2bn2=an+an+1,得2b12=a1+a2=8,解得b1=2
又∵a2=b1b2=6∴b2=3,由(I)知數列bn是等差數列,則公差d=b2-b1=1
∴bn=b1+(n-1)d=2+n-1=n+1,
又an=bn-1bn,得an=n(n+1)=n2+n,
,
則當q=1時,cn=n,此時;
當q≠1時,Sn=c1+c2++cn=1×q2+2×q3++nqn+1,①
所以qSn=qc1+qc2++qcn=1×q3+2×q4++nqn+2
由①-②,得,

綜上可知,
點評:本題主要考查了數列的求和問題.考查了學生對等比數列和等差數列基礎知識的掌握.
練習冊系列答案
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A.32B.64C.64D.256

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