Question

（滿分14分）已知函數,（），若同時滿足以下條件：

①在D上單調遞減或單調遞增；

②存在區(qū)間[]D,使在[]上的值域是[]，那么稱（）為閉函數．

（1）求閉函數符合條件②的區(qū)間[]；

（2）判斷函數是不是閉函數？若是請找出區(qū)間[]；若不是請說明理由；

（3）若是閉函數，求實數的取值范圍.

（注：本題求解中涉及的函數單調性不用證明，直接指出是增還是減函數即可）

Answer 1

（1）[-1，1]；（2）不是，理由略；（3）

【解析】

試題分析：（1）易證在R上為減函數，由題意可得，可解得，（2）（反證法）假設函數是閉函數由函數單調增可得到a、b為方程的兩不等實根，由此推導出矛盾來否定假設；（3）由函數的單調性得到關于a、b的兩個方程，通過觀察易知a、b是一個方程的兩不等實根，法一：根據方程根的分布情況得到關系式解出k的范圍；法二：將方程的根的個數轉化為兩函數的圖象的交點的個數，利用圖象的k的取值范圍.

試題解析：（1）在R上單減，所以區(qū)間[]滿足

解得

（2）不是．（反證法）假設是閉函數，又因在R上單增，

所以存在區(qū)間[]使得，

則方程有兩不等實根，即有兩個不等的實根，等價于至少有2個零點，

令，則易知為R上單調遞增函數，且，，所以在有零點，由在R上單調遞增，知在R上有且只有一個零點，矛盾。所以假設不成立，即不是閉函數。

（3）（法一）易知在上單調遞增.

設滿足條件②的區(qū)間為，則方程組

有解，

即方程至少有兩個不同的解

也即方程有兩個都不小于的不等根.

得，即為所求.

（法二）易知在上單調遞增.

設滿足條件②的區(qū)間為，則方程組

有解，

即方程至少有兩個不同的解

令

則

即函數 的圖象與直線至少有兩個不同交點,

如圖有

考點：函數的性質與應用