Question

已知函數f（x）=x²+lnx-ax在（0，1）上是增函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）設g（x）=e^2x-ae^x-1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，據導函數的符號與函數單調性的關系，令導函數大于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出函數的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范圍．
（2）通過函數將函數轉化為二次函數，通過對對稱軸與定義域位置關系的討論，分情況求出函數的最小值．

解答：解：（1）f′(x)=2x+

1

x

-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函數，
∴2x+

1

x

-a≥0在（0，1）上恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∴只需a≤(2x+

1

x

)min即可．
∴2x+

1

x

≥2

2

（當且僅當x=

2

2

時取等號），
∴a≤2

2

（2）設e^x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
設h(t)=t2-at-1=(t-

a

2

)2-(1+

a2

4

)，
其對稱軸為 t=

a

2

，由（1）得a≤2

2

，
∴t=

a

2

≤

2

＜

3

2

則當1≤

a

2

≤

2

，即2≤a≤2

2

時，h（t）的最小值為h(

a

2

)=-1-

a2

4

當

a

2

＜1，即a＜2時，h（t）的最小值為h（1）=-a
所以，當2≤a≤2

2

時，g（x）的最小值為-1-

a2

4

，
當a＜2時，g（x）的最小值為-a

點評：解決函數的單調性已知求參數的范圍問題，常求出導函數，令導函數大于等于（或小于等于）0恒成立；解決不等式恒成立問題常分離參數轉化為求函數的最值；通過換元法解題時，一定注意新變量的范圍．