Question

如圖1所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AP=2AB=2BC，D是底邊AP的中點(diǎn)，E．F、G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使點(diǎn)P位于點(diǎn)P′，且P′D⊥平面ABCD，得折疊后如圖2的幾何圖形．
（Ⅰ）求證：平面ABP′∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角G-EF-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得EF

∥

.

1

2

CD，同理GE

∥

.

1

2

P′B，又CD

∥

.

AB，所以EF

∥

.

1

2

AB，由此能證明平面ABP′∥平面EFG．
（Ⅱ）由DA，DC，DP′兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能示出二面角G-EF-D的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別為P′C，P′D的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)，
∴EF

∥

.

1

2

CD，同理GE

∥

.

1

2

P′B，
又CD

∥

.

AB，∴EF

∥

.

1

2

AB，
∵EG∩EF=E，P‘B∩AB=B，
∴平面ABP′∥平面EFG．
（Ⅱ）解：由已知底面ABCD是正方形，又∵P’D⊥平面ABCD，
∴DA，DC，DP′兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則p′（0，0，2），C（0，0，0），G（2，1，0），E（1，0，1），F(xiàn)（0，0，1），A（0，2，0），
∴

AP′

=（0，-2，2），

EF

=（-1，0，0），

EG

=(1，1，-1)，
設(shè)平面EFG的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

n • EF =-x=0 n • EG =x+y-z=0

，取y=1，得

n

=(0，1，1)，
又平面P′CD的法向量

DA

=(0，2，0)，
∴cos＜

DA

，

n

＞=

2

2 2

=

2

2

，
∴二面角G-EF-D的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．