Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線y=-3x+3在點（ 1，0 ） 處相切，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=-2處取得極值，所以f′（-2）=0，又因為函數(shù)與直線在點 （1，0 ）處相切，所以f′（1）=-3，代入求得兩個關(guān)于a與b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因為函數(shù)過點（1，0），代入求出c的值即可．
（2）由（1）求出的值可得導(dǎo)函數(shù)的解析式，分別令其大于、小于0可求增、減區(qū)間，即可求出f（x）的極值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0   ①
又f′（1）=3+2a+b=-3  ②，
由①②解得a=1，b=-8
又f（x）過點（1，0），
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6
（2）由（1）知：f（x）=x³+x²-8x+6，所以f′（x）=3x²+2x-8
令3x²+2x-8＜0解得-2＜x＜

4

3

，
令3x²+2x-8＞0解得x＜-2，或x＞

4

3

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（

4

3

，+∞），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，

4

3

）
∴在x=-2處取得極大值18，在x=

4

3

處取得極小值-

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點評：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的導(dǎo)數(shù)值，就是曲線在該點處的切線的斜率，是中檔題．