Question

已知函數(shù)，其圖象為曲線,點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)時(shí)，的方程為，求實(shí)數(shù)和的值；

（Ⅲ）設(shè)切線、的斜率分別為、，試問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將代入到函數(shù)中，求導(dǎo)，解出的的取值范圍，從而能夠?qū)懗龊瘮?shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間；（2）將切點(diǎn)代入到函數(shù)表達(dá)式中，求出的關(guān)系，再將代入到中，求出最終的值；（3）設(shè)，寫(xiě)出函數(shù)在處的切線，并與曲線聯(lián)立，得到關(guān)于的方程，再設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，再利用，得出，化簡(jiǎn)成，則能夠得到，進(jìn)而能夠求出的值.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

則，解得或；

，解得

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）由題意得，即，

解得 

∴實(shí)數(shù)和的值分別是和. 

（Ⅲ）設(shè)，則，

聯(lián)立方程組

由②代入①整理得 

設(shè)，則由韋達(dá)定理得，∴

由題意得；

假設(shè)存在常數(shù)使得，則，

即,∴，解得

所以當(dāng)時(shí)，存在常數(shù)使得；

當(dāng)時(shí)，不存在，使得 .          

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，2.曲線的切線方程，3.函數(shù)存在性問(wèn)題.