若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(Ⅰ)求的極值；

(Ⅱ) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

解：(Ⅰ) ，

．     

當(dāng)時，．  

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減； 

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時，取極小值，其極小值為．

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即

．     

由，可得當(dāng)時恒成立．

，                             

由，得． 

下面證明當(dāng)時恒成立．

令，則

， 

當(dāng)時，．

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；

當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時，取極大值，其極大值為．   

從而，即恒成立．            

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二： 由(Ⅰ)可知當(dāng)時， (當(dāng)且當(dāng)時取等號) ．

若存在和的隔離直線，則存在實常數(shù)和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．                 

后面解題步驟同解法一．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年長沙一中第八次月考理）(13分)若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(Ⅰ)求的極值；

        (Ⅱ) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知,（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），根據(jù)你的數(shù)學(xué)知識，推斷與間的隔離直線方程為                  .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(1)求的極值；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆福建漳州高二下學(xué)期期中考試?yán)頂?shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數(shù)的底數(shù))．

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（14分）若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

(1)求的極值；

(2) 函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

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