設(shè)點(diǎn)、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),
為橢圓
上任意一點(diǎn),且
的最小值為
.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)直線(直線
、
不重合),若
、
均與橢圓
相切,試探究在
軸上是否存在定點(diǎn)
,使點(diǎn)
到
、
的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)
坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1);(2)定點(diǎn)
存在,其坐標(biāo)為
或
.
【解析】
試題分析:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識(shí),考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力,考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問(wèn),設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),用代數(shù)法解題,得到向量
和
的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得出表達(dá)式,求出最小值,即可解出
的值,即確定了
的值,寫(xiě)出橢圓的方程;第二問(wèn),由于直線與橢圓相切,所以直線與橢圓方程聯(lián)立消參,得出方程的判別式等于0,得出
,同理,得出
,所以
,因?yàn)閮芍本€不重合,所以
,若存在點(diǎn)
,利用點(diǎn)到直線的距離公式得到距離之積為1的表達(dá)式,解出
的值,由于
的值存在,所以存在點(diǎn)
,寫(xiě)出坐標(biāo)即可.
試題解析:(I)設(shè),則有
,
由最小值為
得
,
∴橢圓的方程為
4分
(II)把的方程代入橢圓方程得
∵直線與橢圓
相切,∴
,化簡(jiǎn)得
同理可得:
∴,若
,則
重合,不合題意,
∴,即
8分
設(shè)在軸上存在點(diǎn)
,點(diǎn)
到直線
的距離之積為1,則
,即
,
把代入并去絕對(duì)值整理,
或者
前式顯然不恒成立;而要使得后式對(duì)任意的恒成立
則,解得
;
綜上所述,滿足題意的定點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為
或
. 12分
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.向量的數(shù)量積;3.點(diǎn)到直線的距離公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三3月第一次高考模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,設(shè)點(diǎn)、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),
為橢圓
上任意一點(diǎn),且
最小值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若動(dòng)直線均與橢圓
相切,且
,試探究在
軸上是否存在定點(diǎn)
,點(diǎn)
到
的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)
坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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