設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x2 (a∈R),且x=2是y= f(x)的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,
因此a=1.
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=1時(shí),x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).
所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞);
單調(diào)減區(qū)間是(0,2).
(2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)=ex(x3-6x)=x(x+)(x-
)ex,
因?yàn)閑x>0,所以y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-,0),(
,+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-
),(0,
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=t3+bt2+ct+d,如圖所示是其運(yùn)動(dòng)軌跡的一部分,若t∈時(shí),s(t)<3d2成立,則d的取值范圍為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
函數(shù)f(x)=x-3ax
+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-
11).
(1)求a、b的值;
(2)方程f(x)=c有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知全集U=R,非空集合A=
(1)當(dāng)a=時(shí),求(∁UB)∩A;
(2)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若q是p的必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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