設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x2 (a∈R),且x=2是y= f(x)的極值點.
(1)求實數(shù)a的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因為x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點,所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,
因此a=1.
經(jīng)驗證,當(dāng)a=1時,x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點.
所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞);
單調(diào)減區(qū)間是(0,2).
(2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)=ex(x3-6x)=x(x+)(x-
)ex,
因為ex>0,所以y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-,0),(
,+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-
),(0,
).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知某質(zhì)點的運(yùn)動方程為s(t)=t3+bt2+ct+d,如圖所示是其運(yùn)動軌跡的一部分,若t∈時,s(t)<3d2成立,則d的取值范圍為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
函數(shù)f(x)=x-3ax
+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(1,-
11).
(1)求a、b的值;
(2)方程f(x)=c有三個不同的實數(shù)解,求c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知全集U=R,非空集合A=
(1)當(dāng)a=時,求(∁UB)∩A;
(2)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若q是p的必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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