設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x2 (a∈R),且x=2是y= f(x)的極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間.


解 (1)f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,

因此a=1.

經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=1時(shí),x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).

所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).

所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞);

單調(diào)減區(qū)間是(0,2).

(2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex,

因?yàn)閑x>0,所以y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-,0),(,+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-),(0,).


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