Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，且b_n是

n

an

與

n

an+2

的等比中項，求b_n的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到另一遞推式，作差后得到

an+1

an

=3(n≥2)，再求出a₂后由

a2

a1

=3綜合得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，由此得到等比數(shù)列的通項公式；
（2）由b_n是

n

an

與

n

an+2

的等比中項求得{b_n}的通項公式，然后利用錯位相減法求得b_n的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=2S_n+2，得
a_n=2S_n-1+2（n≥2），
兩式作差得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即

an+1

an

=3(n≥2)．
又a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，
∴

a2

a1

=3．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列．
則an=2•3n-1；
（2）∵數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，且b_n是

n

an

與

n

an+2

的等比中項，
∴bn2=

n

2•3n-1

•

n

2•3n+1

=

n2

4•32n

，
bn=

n

2•3n

．
∴Tn=

1

2×31

+

2

2×32

+

3

2×33

+…+

n

2•3n

．

1

3

Tn=

1

2×32

+

2

2×33

+…+

n

2•3n+1

．
作差得：

2

3

Tn=

1

2×31

+

1

2×32

+…+

1

2•3n

-

n

2•3n+1

=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

2•3n+1

=

1

4

(1-

1

3n

)．
∴Tn=

3

8

(1-

1

3n

)．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，屬中檔題．