Question

已知不等式x²-5mx+4m²≤0的解集為A，不等式ax²-x-1+3a＜0的解集為B．
（1）求A．
（2）若當(dāng)m=1時，A∩B≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式x²-5mx+4m²≤0可化為（x-m）（x-4m）≤0．對m分類討論：m＞0，m=0，m＜0．即可得出．
（2）當(dāng)m=1時，A=[1，4]．由于A∩B≠∅，因此當(dāng)x∈[1，4]時，不等式ax²-x-1+3a＜0有解．分離參數(shù)可得a＜

x+1

x2+3

=f（x）（x∈[1，4]），可知：a＜f（x）_max．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（1）不等式x²-5mx+4m²≤0可化為（x-m）（x-4m）≤0．
當(dāng)m＞0時，A=[m，4m]；當(dāng)m=0時，A={0}；當(dāng)m＜0時，A=[4m，m]．
（2）當(dāng)m=1時，A=[1，4]．
∵A∩B≠∅，∴當(dāng)x∈[1，4]時，不等式ax²-x-1+3a＜0有解．
∴a＜

x+1

x2+3

=f（x）（x∈[1，4]），
則f′（x）=

(x2+3)-2x(x+1)

(x2+3)2

=

-(x+3)(x-1)

(x2+3)2

≤0，
∴函數(shù)f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值

1

2

，∴a＜

1

2

．
∴a的取值范圍是(-∞，

1

2

)．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、集合運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法和分離參數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．