Question

如圖，一艘輪船在某海島附近的海上勻速直線航行，海島上一觀察哨A在上午11時測得輪船在海島北偏東60°的B處，12時20分測得輪船在海島北偏西60°的C處，12時40分輪船到達位于海島正西方且距離海島5海里的D港口．
（Ⅰ）求證：S_△ABC=4S_△ACD；
（Ⅱ）求輪船的速度（單位：海里/小時）．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）根據題意求出輪船在BC段用的時間與在CD段用的時間，根據速度相同得到時間之比即為路程之比，求出BC與CD比值，再根據三角形ABC與三角形ACD高相同，即可得證；
（Ⅱ）根據題意，可知BC=4CD，設CD=x海里，則BC=4x海里，在三角形BAD中，由正弦定理求得sinB，再在△ABC中，由正弦定理AC的長，在△ACD中，由余弦定理，得CD的長，從而得出船速即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據題意得：輪船在BC段用的時間為1時20分=80分；在CD段用的時間為20分，
∵輪船勻速行駛，BC段與CD段的時間之比為4：1，
∴BC：CD=4：1，
∵△ABC與△ACD高相同，
∴S_△ABC=4S_△ACD；
（Ⅱ）依題意，上午11時在某海島上一觀察點A測得一輪船在海島北偏東60°的B處，12時20分測得船在海島北偏西60°的C處，12時40分輪船到達了位于海島正西方且距海島5海里的E港口，輪船始終以勻速直線前進．
可知BC=4BE，
設CD=x海里，則BC=4x海里，
由已知，得∠CAD=30°，∠DAB=150°，
由正弦定理得

DB

sin∠DAB

=

AD

sinB

，即sinB=

ADsin∠DAB

DB

=

5× 1 2

5x

=

1

2x

，
在△ABC中，由正弦定理，得

4x

sin120°

=

AC

1 2x

，
∴AC=

4 3

3

，
在△ACD中，由余弦定理，得CD²=AC²+AD²-2AC•AD•cos30°=

16

3

+25-2×

4 3

3

×5×

3

2

=

31

3

，即CD=

93

3

，
∴船速V=

S

t

=

CD

1 3

=

93 3

1 3

=

93

（海里/小時）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．