Question

6．觀(guān)察下列等式
$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i=cos$\frac{π}{3}$+isin$\frac{π}{3}$
（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²=cos$\frac{2π}{3}$+isin$\frac{2π}{3}$
（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）³=cosπ+isinπ，
（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{4}}{2}$i）⁴=cos$\frac{4π}{3}$+isin $\frac{4π}{3}$，
…
照此規(guī)律，可以推測(cè)對(duì)于任意的n∈N^*，（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ=cos$\frac{n}{3}$π+isin$\frac{n}{3}$π．

Answer 1

分析 通過(guò)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，左邊是（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）的冪的形式，且次數(shù)逐項(xiàng)增加，右邊都是同角的余正弦，且角是以$\frac{π}{3}$為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)果．

解答 解：觀(guān)察可知：
等式左邊是以（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）為首項(xiàng)，公比為（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）的等比數(shù)列，
所以第n行等式左邊為（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ，右邊每行都是同角的余弦加正弦，且角是以$\frac{π}{3}$首項(xiàng)，公差為$\frac{π}{3}$的等差數(shù)列，
所以第n行等式右邊為cos$\frac{n}{3}$π+isin$\frac{n}{3}$π．
故答案為：cos$\frac{n}{3}$π+isin$\frac{n}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)考查歸納推理的問(wèn)題，主要是從式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手分析，例如本題的右端是同角的余弦加正弦，且的角的規(guī)律為等差數(shù)列，本題不難．