【題目】若給定橢圓和點
,則稱直線
為橢圓C的“伴隨直線”.
(1)若在橢圓C上,判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時,分別稱直線與橢圓相離、相切、相交),并說明理由;
(2)命題:“若點在橢圓C的外部,則直線
與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題,判斷此逆命題的真假,說明理由;
(3)若在橢圓C的內部,過N點任意作一條直線,交橢圓C于A、B,交
于M點(異于A、B),設
,問
是否為定值?說明理由.
【答案】(1)l與橢圓C相切.見解析(2)逆命題:若直線與橢圓C相交,則點
在橢圓C的外部.是真命題.見解析(3)為定值0,見解析
【解析】
(1) ,由根的差別式能得到l與橢圓C相切.
(2)逆命題:若直線與橢圓C相交,則點
在橢圓C的外部.是真命題.聯(lián)立方程得
.由
,能求出
在橢圓C的外部.
(3)此時與橢圓相離,設
則
代入橢圓
,利用M在
上,得
.由此能求出
.
解:(1)
即
∴
∴與橢圓C相切.
(2)逆命題:若直線與橢圓C相交,
則點在橢圓C的外部.
是真命題.聯(lián)立方程得
則
∴
∴
∴在橢圓C的外部.
(3)同理可得此時與橢圓相離,設
則代入橢圓
,利用M在
上,
即,整理得
同理得關于的方程,類似.
即是
的兩根
∴.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是各項均為非零實數(shù)的數(shù)列
的前n項和,給出如下兩個命題上:命題p:
是等差數(shù)列;命題q:等式
對任意
恒成立,其中k,b是常數(shù).
(1)若p是q的充分條件,求k,b的值;
(2)對于(1)中的k與b,問p是否為q的必要條件,請說明理由;
(3)若p為真命題,對于給定的正整數(shù)n和正數(shù)M,數(shù)列
滿足條件
,試求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸是短軸的兩倍,以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于
,直線l與橢圓C交于
兩點,其中直線l不過原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線的斜率分別為
,其中
且
.記
的面積為S.分別以
為直徑的圓的面積依次為
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為調查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關,隨機抽取了選修課程的55名學生,得到數(shù)據(jù)如下表:
喜歡統(tǒng)計課程 | 不喜歡統(tǒng)計課程 | ||
男生 | 20 | 5 | |
女生 | 10 | 20 | |
(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關?
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查,將這6名學生作為一個樣本,從中任選2人,求恰有1個男生和1個女生的概率.
臨界值參考:
0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點的橢圓和拋物線
有相同的焦點
,橢圓
過點
,拋物線
的頂點為原點.
求橢圓
和拋物線
的方程;
設點P為拋物線
準線上的任意一點,過點P作拋物線
的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
設直線PA,PB的斜率分別為
,
,求證:
為定值;
若直線AB交橢圓
于C,D兩點,
,
分別是
,
的面積,試問:
是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線焦點為
,
為拋物線上在第一象限內一點,
為原點,
面積為
.
(1)求拋物線方程;
(2)過點作兩條直線分別交拋物線于異于點
的兩點
,
,且兩直線斜率之和為
,
(i)若為常數(shù),求證直線
過定點
;
(ii)當改變時,求(i)中距離
最近的點
的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出,將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”.北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程,為了解學生對冰球運動的興趣,隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調查,其中女生中對冰球運動有興趣的占,而男生有10人表示對冰球運動沒有興趣額.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有
的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”?
有興趣 | 沒興趣 | 合計 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合計 |
(2)已知在被調查的女生中有5名數(shù)學系的學生,其中3名對冰球有興趣,現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人,求至少有2人對冰球有興趣的概率.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選
校,另在
三校中再隨機選1所;而同學乙和丙對四所高校沒有偏愛,因此他們每人在四所高校中隨機選2所.
(�。┣蠹淄瑢W選高校且乙、丙都未選
高校的概率;
(ⅱ)記為甲、乙、丙三名同學中選
校的人數(shù),求隨機變量
的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點
.
(Ⅰ)求橢圓的方程,并求其離心率;
(Ⅱ)過點作
軸的垂線
,設點
為第四象限內一點且在橢圓
上(點
不在直線
上),直線
關于
的對稱直線
與橢圓交于另一點
.設
為坐標原點,判斷直線
與直線
的位置關系,并說明理由.
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