在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
的中心在原點(diǎn)
,焦點(diǎn)在
軸上,短軸長(zhǎng)為
,離心率為
.
(I)求橢圓的方程;
(II) 為橢圓
上滿足
的面積為
的任意兩點(diǎn),
為線段
的中點(diǎn),射線
交橢圓
與點(diǎn)
,設(shè)
,求實(shí)數(shù)
的值.
(I) (Ⅱ)
或
【解析】(I)設(shè)橢圓的方程為
,
由題意知,解得
因此橢圓的方程為
(II)(1)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于
軸對(duì)稱時(shí),
設(shè)直線的方程為
,由題意知
或
,
將代入橢圓方程
得
.
所以
解得或
.
又,
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image020.png">為橢圓上一點(diǎn),所以
,
或
又因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image024.png">所以或
(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于
軸不對(duì)稱時(shí),
設(shè)直線的方程為
,將其代入橢圓方程
得
.
設(shè),由判別式
可得
,
此時(shí)
所以,
因?yàn)辄c(diǎn)到直線
的距離為
,
所以
令,則
解得或
,即
或
.
又,
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image020.png">為橢圓上一點(diǎn),所以
,
即,所以
或
又因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image024.png">所以或
經(jīng)檢驗(yàn),適合題意.
綜上可知或
【考點(diǎn)定位】本題基于橢圓問(wèn)題綜合考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí),考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)通過(guò)橢圓的性質(zhì)確定其方程,第二問(wèn)根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于
軸的對(duì)稱關(guān)系進(jìn)行分類討論,分別設(shè)出直線
的方程,通過(guò)聯(lián)立、判斷
、消元等一系列運(yùn)算“動(dòng)作”達(dá)成目標(biāo).本題極易簡(jiǎn)單考慮設(shè)直線
的形式而忽略斜率不存在的情況造成漏解.在聯(lián)立方程得到
后,后續(xù)運(yùn)算會(huì)多次出現(xiàn)
這一式子,換元簡(jiǎn)化運(yùn)算不失為一種好方法,令
,搭建了
與
的橋梁,使坐標(biāo)的代入運(yùn)算更為順暢,使“化繁為簡(jiǎn)”這一常用原則得以完美呈現(xiàn).
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