Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為.

(I)求橢圓的方程;

(II) 為橢圓上滿足的面積為的任意兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，射線交橢圓與點(diǎn)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

(I)         (Ⅱ)  或

【解析】(I)設(shè)橢圓的方程為,

由題意知，解得

因此橢圓的方程為

(II)（1）當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，

設(shè)直線的方程為，由題意知或，

將代入橢圓方程得.

所以

解得或.

又，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image020.png">為橢圓上一點(diǎn)，所以，或

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image024.png">所以或

（2）當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于軸不對(duì)稱時(shí)，

設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程得

.

設(shè)，由判別式可得，

此時(shí)

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，

所以

令，則

解得或，即或.

又，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image020.png">為橢圓上一點(diǎn)，所以，

即，所以或

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322161820976164_DA.files/image024.png">所以或

經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意.

綜上可知或

【考點(diǎn)定位】本題基于橢圓問(wèn)題綜合考查橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)通過(guò)橢圓的性質(zhì)確定其方程，第二問(wèn)根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱關(guān)系進(jìn)行分類討論，分別設(shè)出直線的方程，通過(guò)聯(lián)立、判斷、消元等一系列運(yùn)算“動(dòng)作”達(dá)成目標(biāo).本題極易簡(jiǎn)單考慮設(shè)直線的形式而忽略斜率不存在的情況造成漏解.在聯(lián)立方程得到后，后續(xù)運(yùn)算會(huì)多次出現(xiàn)這一式子，換元簡(jiǎn)化運(yùn)算不失為一種好方法，令，搭建了與的橋梁，使坐標(biāo)的代入運(yùn)算更為順暢，使“化繁為簡(jiǎn)”這一常用原則得以完美呈現(xiàn).