已知數(shù)列{an}滿足:.若,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范為( )
A.λ>2
B.λ>3
C.λ<2
D.λ<3
【答案】分析:,分別令n=1,2,3,依次求出a2=,a3=,a4=,由此猜想an=,并用用數(shù)學(xué)歸納法證明.由an=.知bn+1=(n-λ)(+1)=(n-λ)•2n,再由b1=-λ,數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,能求出λ的取值范圍.
解答:解:∵,
∴a2==
a3==,
a4==,
由此猜想an=
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),=1,成立;
②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即,
則當(dāng)n=k=1時(shí),ak+1===,成立.
∴an=
∴bn+1=(n-λ)(+1)=(n-λ)•2n
∴b2=(1-λ)•2=2-2λ,
∵b1=-λ,數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴b1=-λ<b2=2-2λ,
解得λ<2.
故選C.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及其應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意數(shù)學(xué)歸納法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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