Question

已知函數(shù)f（x）=2acosxsin（x+β）-2asin²xsinβ+2asinxcosxcosβ的定義域是R，值域為[-2，2]，在區(qū)間[-

5

12

π，

π

12

]上是單調(diào)遞減函數(shù)，且a＞0，β∈[0，2π]．
（1）求f（x）的周期；
（2）求常數(shù)a和角β的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用兩角和差公式，變形為：f（x）=2asin（2x+β），再利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求解．
（2）根據(jù)單調(diào)區(qū)間，求解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2acosxsin（x+β）-2asin²xsinβ+2asinxcosxcosβ
=2acosxsinxcosβ+2acosxcosxsinx-2asin²xsinβ+2asinxcosxcosβ
=2asin2xcosβ+2acosxsinβ
=2asin（2x+β）
（1）周期T=

2π

2

=π，
（2）∵定義域是R，值域為[-2，2]，
2a=2，a=1，函數(shù)f（x）=2asin（2x+β），
∴在區(qū)間[-

5

12

π，

π

12

]上是單調(diào)遞減函數(shù)，且a＞0，β∈[0，2π]．
∴β-

5π

6

≤2x+β≤

π

6

+β，
又2kπ+

π

2

≤2x+β≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
∴

π

6

+β=2kπ+

3π

2

，β=2kπ+

4π

3

．k∈Z，
∵β∈[0，2π]，∴β=

4π

3

．
所以a=1，β=

4π

3

．

點評：本題考察了運用恒等變換，三角函數(shù)圖象性質(zhì)解決問題．