Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x+blnx在x=1與x=2處取極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e²]的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=1和x=2時(shí)取得極值，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)等于0，解關(guān)于a，b的方程，得到結(jié)果．
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在所給的區(qū)間上寫出各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)的符合和各個(gè)點(diǎn)的值，比較兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)的值和極值，求得最值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+

b

x

+1，由

2a+b+1=0 4a+ b 2 +1=0

⇒

a=- 1 6 b=- 2 3

，
（Ⅱ）f（x）=-

1

6

x²+x-

2

3

lnx，f′（x）=

-(x-1)(x-2)

3x

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，1]遞減，在（1，2]遞增，在（2，e²]遞減，
又f（1）=

5

6

＞0，f（e²）=-

4

3

-

e4

6

+e²＜0，
故f（x）在區(qū)間[

1

e

，e²]的最小值是f（e²）=-

4

3

-

e4

6

+e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值和最值，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用在某一點(diǎn)有極值點(diǎn)條件，它使得導(dǎo)函數(shù)在這里等于0．