Question

已知函數(shù)f₁（x）=

2x-1

x+1

．對于n=1，2，…定義f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），若f₃₅（x）=f₅（x），f₂₈（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f₃₅（x）=f₅（x）可猜想其具有周期性，再由f₁（x）=

2x-1

x+1

，且f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），推出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），f₇（x）從而找到規(guī)律，從而求解．

解答： 解：∵f₁（x）=

2x-1

x+1

，且f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），
∴f₂（x）=

2 2x-1 x+1 -1

2x-1 x+1 +1

=

x-1

x

；
∴f₃（x）=f₁（f₂（x））=

2 x-1 x -1

x-1 x +1

=

x-2

2x-1

，
∴f₄（x）=f₁（f₃（x））=

2 x-2 2x-1 -1

x-2 2x-1 +1

=

-1

x-1

，
∴f₅（x）=f₁（f₄（x））=

-x-1

x-2

，
∴f₆（x）=f₁（f₅（x））=x，
∴f₇（x）=

2x-1

x+1

=f₁（x），
∴從f₁（x）到f₆（x）每6個(gè)一循環(huán)，
又∵28=4×6+4，
∴f₂₈（x）=f₄（x）=

-1

x-1

．
故答案為：

-1

x-1

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性與數(shù)列的遞推式應(yīng)用，先猜想，后通過嘗試得到周期性，從而求解，屬于中檔題．