Question

已知函數．

（1）當a=1時，證明函數只有一個零點；

（2）若函數在區(qū)間（1，+∞）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）當x=1時，函數取得最大值，其值為．

當時，，即，函數只有一個零點；

（2）   實數a的取值范圍是

解析:

（1）當a=1時，，其定義域是，

       

    令，即，解得或．

    ，舍去．

     當時，；當時，．

∴函數在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減

    ∴當x=1時，函數取得最大值，其值為．

當時，，即．

    ∴函數只有一個零點．  

（2）因為其定義域為，

所以     

①當a=0時，在區(qū)間上為增函數，不合題意

②當a>0時，等價于，即．

此時的單調遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得．         

③當a<0時，等價于，即·

此時的單調遞減區(qū)間為，得

綜上，實數a的取值范圍是