Question

如圖，已知平面PAB上平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當E為△PBC的垂心時，求證，△ABC是直角三角形．

Answer 1

答案：略
提示：

證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC，又PA平面PAC，∴DF⊥AP．作DC⊥AB于G，同理可證DG⊥AP．∵DG、DF在平面ABC內(nèi)，∴PA上平面ABC．(2)連BE交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE．∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．(1)已知兩個平面垂直時，過其中一個平面的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面；于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得到：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．(2)第(2)問的關(guān)鍵是要靈活利用第(1)問的結(jié)論．