Question

設(shè)集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-4x+a=0}，若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：求解一元二次方程化簡(jiǎn)集合A，根據(jù)A∪B=A，得B⊆A，然后由B為空集和不是空集討論，當(dāng)B=∅時(shí)，由方程x²-4x+a=0的判別式小于0求解a的范圍，當(dāng)B≠∅時(shí)，再分判別式等于0和大于0討論求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，
∵A∪B=A，∴B⊆A，集合B有兩種情況，B=∅或B≠∅．
（1）B=∅時(shí)，方程x²-4x+a=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴△=16-4a＜0，
∴a＞4．
（2）B≠∅時(shí)，當(dāng)△=0時(shí)，a=4，B={2}⊆A滿足條件；
當(dāng)△＞0時(shí)，若1，2是方程x²-4x+a=0的根，
由根與系數(shù)的關(guān)系知矛盾，無(wú)解，
∴a=4．
綜上，a的取值范圍是a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了利用一元二次方程的判別式討論方程根的情況，是基礎(chǔ)題．