Question

【題目】在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段， 為垂足，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在圓上運(yùn)動。

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；

(2)過定點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）由轉(zhuǎn)移法求動點(diǎn)軌跡：先設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，根據(jù)條件得x0＝x，y0＝y.再代入已知動點(diǎn)軌跡，化簡即得點(diǎn)M的軌跡方程（2）以算探索存在性問題：直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示可得＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2

，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于k的關(guān)系式，而由題意得與k無關(guān)的常數(shù)，所以解得n，即得點(diǎn)的坐標(biāo)

試題解析：(1)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，則x0＝x，y0＝y.

∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.

∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.

點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1(x≠±2)．

(2)假設(shè)存在．當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，

設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，

聯(lián)立方程組

整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)

＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2

＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2

＝＋n2

＝＋n2

＝ (2n2＋4n－1)－.

∵·是與k無關(guān)的常數(shù)，∴2n＋＝0.

∴n＝－，即N，此時·＝－.

當(dāng)直線AB與x軸垂直時，若n＝－，則·＝－.

綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)N，使·為常數(shù)．