Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x+

1

2

)=log

1

2

(x2-

9

4

)，且函數(shù)g(x)=log

1

2

(2x-2)
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及定義域；
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過換元法求出函數(shù)的解析式，利用對數(shù)函數(shù)的定義域，直接求解函數(shù)f（x）的定義域；
（2）通過f（x）＞g（x），利用對數(shù)不等式的解法借助函數(shù)的單調(diào)性求x的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）滿足f(x+

1

2

)=log

1

2

(x2-

9

4

)，
令t=x+

1

2

，∴x=t-

1

2

．
∴f(x+

1

2

)=log

1

2

(x2-

9

4

)，
化為f（t）=log

1

2

((t-

1

2

)2-

9

4

)=log

1

2

(t2-t-2)．
∴函數(shù)f（x）的表達(dá)式：f（x）=log

1

2

(x2-x-2)．
要使函數(shù)有意義，必須x²-x-2＞0，解得x＜-1或x＞2．
函數(shù)的定義域：{x|x＜-1或x＞2}；
（2）由f（x）＞g（x），又f（x）=log

1

2

(x2-x-2)且函數(shù)g(x)=log

1

2

(2x-2)，
∴log

1

2

(x2-x-2)＞log

1

2

(2x-2)，
可得

x2-x-2＞0 2x-2＞0 x2-x-2＜2x-2

⇒

x＜-1或x＞2 x＞1 0＜x＜3

⇒2＜x＜3．
∴x的取值范圍（2，3）．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，對數(shù)不等式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．