Question

已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[-1.3）=-1．下列命題：其中正確的是（　�。�
①函數(shù)f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
②若{a_n}是等差數(shù)列，則{[a_n）}也是等差數(shù)列；
③若{a_n}是等比數(shù)列，則{[a_n）}也是等比數(shù)列；
④若x∈（1，2014），則方程[x）-x=

1

2

有2013個根．

• A、②④
• B、③④
• C、①③
• D、①④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義

分析：根據(jù)定義一一加以判斷：對①考慮當x為整數(shù)和不為整數(shù)；對②可取特殊數(shù)列比如整數(shù)等差數(shù)列和非整數(shù)等差數(shù)列加以檢驗；對③也取特殊數(shù)列驗證；對④由定義通過列舉即可．

解答： 解：對①，當x為整數(shù)時，[x）=x+1，即[x）-x=1，當x不為整數(shù)時，0＜[x）-x＜1，所以函數(shù)f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①對；
   對②，當數(shù)列{a_n}是整數(shù)構成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[a_n）}也是等差數(shù)列；當{a_n}不是整數(shù)構成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[a_n）}不是等差數(shù)列．
例如：數(shù)列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么數(shù)列
{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數(shù)列．故②錯；
   對③，可取等比數(shù)列{a_n}：1，2，4，8，16；則數(shù)列{[a_n）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數(shù)列，故③錯；
對④，因為x∈（1，2014），方程[x)-x=

1

2

所以x可取1.5，2.5，3.5，4.5，…，2013.5總共有2013個根，
  故④對．
  故選：D．

點評：本題是一道新定義題，解題關鍵是理解定義，從而掌握定義，對有些命題可通過取特殊情況加以判斷，也可通過列舉法一一舉出來，注意不重不漏，本題是一道中檔題．