Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若斜率為的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，其中，求證：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)時(shí)，在區(qū)間遞增，時(shí)，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解；(2)借助題設(shè)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解；(3)依據(jù)題設(shè)先等價(jià)轉(zhuǎn)化,再構(gòu)設(shè)函數(shù)運(yùn)用運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分析推證.

試題解析：

（1），令，得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，.

（2），，

當(dāng)時(shí)，恒有，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，令，即，解得，

令，即，解得，

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）證明：，要證明，即證，

等價(jià)于，令（由，知），

則只有證，由，知，故等價(jià)于（*）

<1>設(shè)，則，所以在內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，

<2>設(shè)，則，所以在內(nèi)是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，

由<1><2>知（*）成立，所以.