Question

已知m，n∈R，若關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂滿足0＜x₁＜1，x₂＞1，則

n

m

的取值范圍為（　　）

• A、（-2，-

  1

  2

  ）
• B、（-2，

  1

  2

  ）
• C、（-1，-

  1

  2

  ）
• D、（-1，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用一元二次方程根的發(fā)布，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，n的二元一次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
∵關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂滿足0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

，
即

m+n+1＞0 2m+n+3＜0

，作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
設(shè)k=

n

m

，
則k的幾何意義為過原點(diǎn)的直線的斜率，
由

m+n+1=0 2m+n+3=0

，
解得

m=-2 n=1

，即A（-2，1），此時(shí)OA的斜率k=

1

-2

=-

1

2

，
直線2m+n+3=0的斜率k=-2，
故-2＜k＜-

1

2

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的取值范圍，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)根的分布，利用線性規(guī)劃的知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．