已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸

的對(duì)稱點(diǎn)為 .

（i）求證：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ii）求△面積的取值范圍。

 

【答案】

（2）；（2），.

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題和三角形面積的計(jì)算。

解:(Ⅰ)易得，則所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ)（i）不妨設(shè)直線方程為，代入

得：，

設(shè)，則有，，

由關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得，

根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為，

得，即，整理得，

，代入得 

 則定點(diǎn)為                        

（ii）由（I）中判別式，解得 ，而直線過定點(diǎn)

所以

記，，易得在上位單調(diào)遞減函數(shù)，

得  

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1，1)，與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是x+y-4=0,離心率為，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（，0），且截直線x=所得弦長(zhǎng)為，求該橢圓的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年北京市西城區(qū)高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)

，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年遼寧名校領(lǐng)航高考預(yù)測(cè)試（六）數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

Q
 
已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)

構(gòu)成等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

（�。┣笞C：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ⅱ）求△面積的取值范圍.

 

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