Question

已知函數f（x）=

ax

x2+a

（a≠0）
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）若存在x₀∈（0，1），使f′（x₀）-[f（x₀）]²=0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f(x)=

x

x2+2

，令f′（x）=0，解得x=±

2

．列出表格，即可得出函數的單調性極值；
（2）f′(x0)=

2a-a x 2 0

( x 2 0 +2)2

，代入f′（x₀）-[f（x₀）]²=0，解出即可．

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=

x

x2+2

，f′(x)=

2-x2

(x2+2)2

，
令f′（x）=0，解得x=±

2

．列出表格：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 +∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

故函數的極大值、極小值分別為f(

2

)=

2

4

，f(-

2

)=-

2

4

．
（2）f′(x0)=

2a-a x 2 0

( x 2 0 +2)2

，
∴f′（x₀）-[f（x₀）]²=

2a-a x 2 0 -a2 x 2 0

(x0+2)2

=0，
∴2a-a

x

2 0

-a2

x

2 0

=0，
∵a≠0，∴(1+a)

x

2 0

=2，
∵

x

2 0

∈(0，1)，即0＜

2

1+a

＜1，解得a＞1.
因此，實數a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．