Question

已知函數(shù)f（x）=mx+lnx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：f（x）_最大值≥2

2+m

-3．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)求導(dǎo)得f′（x）=m+

1

x

，m≥0時(shí)，f′（x）＞0，該函數(shù)無(wú)極值，m＜0時(shí)，函數(shù)在x=-

1

m

時(shí)有極值；
（Ⅱ）將證明不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，從而問(wèn)題得以解決．

解答： （Ⅰ）解：∵f′（x）=m+

1

x

，
m≥0時(shí)，f′（x）＞0，該函數(shù)無(wú)極值
m＜0時(shí)，函數(shù)在x=-

1

m

時(shí)，函數(shù)取得極大值-1-ln（-m），極小值不存在
（Ⅱ）證：由（Ⅰ）得：m＜0時(shí)，f（x）_max=-1-ln（-m），
∴即證-1-ln（-m）≥2

2+m

-3，
令

2+m=t

，
∴m=2-t²，
即證e^2-2t≥2-t²
∵-2≤m＜0，
∴-

2

≤t≤

2

，
令y₁=e^2-2t，y₂=2-t²，
當(dāng)t=

2

時(shí)，y₁ 最小，y₁ min=e2-2

2

＞0，
當(dāng)t＞0時(shí)，y₂遞減，t=

2

時(shí)，y₂=0，
∴y₁≥y₂，
∴f（x）_最大值≥2

2+m

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，換元思想，以及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，是一道綜合題．