如圖,在長方體中,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).

(I)求證:平面;
(II)求證:平面;
(III)若二面角的大小為,求的長.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（III）.

解析試題分析：（Ⅰ）證明平面，就是證明平面，只需證明與平面內(nèi)的兩條直線垂直，即可證明平面；（Ⅱ）證明平面，只需證明與平面的一條直線平行，這里采用證明平行四邊形的目的來證明與平面的一條直線平行；（III）借助空間向量法計算當(dāng)為時的長.
試題解析：(I)證明:在長方體中,
因為平面,所以.
因為,所以四邊形為正方形,因此,
又,所以平面.
又,且,
所以四邊形為平行四邊形.
又在上,所以平面.
4分
(II)取的中點(diǎn)為,連接.
因為為的中點(diǎn),所以且,
因為為的中點(diǎn),所以,
而,且,
所以,且,
因此四邊形為平行四邊形,
所以,而平面,[來源:Z,xx,k.Com]
所以平面.
9分
(III)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),

則,
故.
由(I)可知平面,所以是平面的一個法向量.
設(shè)平面的一個法向量為,則,
所以
令,則,所以.
設(shè)與所成的角為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知斜三棱柱的底面是直角三角形， ，側(cè)棱與底面所成角為，點(diǎn)在底面上的射影落在上．

（1）求證：平面；
（2）若，且當(dāng)時，求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱中，平面．

（Ⅰ）從下列①②③三個條件中選擇一個做為的充分條件，并給予證明；
①，②；③是平行四邊形．
（Ⅱ）設(shè)四棱柱的所有棱長都為1，且為銳角，求平面與平面所成銳二面角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為a的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，且，將△AED、△CFD分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連結(jié)A¢B．

（Ⅰ）判斷直線EF與A¢D的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,．
（1）求證:平面平面；
（2）若,求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如左圖，四邊形中，是的中點(diǎn)，，，，，將左圖沿直線折起，使得二面角為，如右圖.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面四邊形的4個頂點(diǎn)都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點(diǎn)，且平面 ，，點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1) 證明：平面平面；
(2) 求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

正方形的邊長為2，分別為邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，如圖，把正方形沿折起，設(shè)．

（1）求證：無論取何值，與不可能垂直；
（2）設(shè)二面角的大小為，當(dāng)時，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值.

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