Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（x∈R），f′（0）=6設F（x）=f（x）-f′（x）若F（0）=0，F(xiàn)（1）=-11．
（1）求b、c、d的值．
（2）求F（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=3x²+2bx+c．
由f′（0）=6得c=6，
從而F（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx+d-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x+d-c．
由于F（0）=0，F(xiàn)（1）=-11，
所以d-c=0，且（b-3）+（c-2b）+d-c=-11，
得b=14，c=6，d=6；
（2）由（1）知F（x）=x³+11x²-22x，從而F'（x）=3x²+22x-22，
當F'（x）＞0時，x＜或x＞，
當F'（x）＜0時，＜x＜，
由此可知，（-∞，）和（，+∞）是函數(shù)F（x）的單調遞增區(qū)間；
（，）是函數(shù)F（x）的單調遞減區(qū)間；
F（x）在x=時取得極大值，極大值為369，F(xiàn)（x）在x=時取得極小值，極小值為-10．
分析：（1）根據(jù)F（x）=f（x）-f'（x）且F（0）=0，F(xiàn)（1）=-11，列方程組能夠求出b、c與d的值．
（2）對F（x）進行求導，F(xiàn)'（x）＞0時的x的取值區(qū)間為單調遞增區(qū)間，F(xiàn)'（x）＜0時的x的取值區(qū)間為單調遞減區(qū)間．F'（x）=0時的x，使得函數(shù)F（x）取到極值．
點評：本題主要考查對導數(shù)的理解．導數(shù)大于0時可求原函數(shù)的單調遞增區(qū)間，導數(shù)小于0時可求原函數(shù)的單調遞減區(qū)間，取到極值時導數(shù)為0．