設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出下列命題:①b=0,c>0時(shí),方程f(x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;②c=0時(shí),y=f(x)是奇函數(shù);③方程f(x)=0至多有兩個(gè)實(shí)根.上述三個(gè)命題中所有正確命題的序號(hào)為 ________.
①②
分析:根據(jù)題意,依次分析三個(gè)命題,①b=0,c>0時(shí),f(x)=x|x|+c=
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,如圖①,結(jié)合圖形作答.
②c=0時(shí),f(x)=x|x|+bx,顯然是奇函數(shù),③當(dāng)c=0,b<0時(shí),如圖②,f(x)=x|x|+bx=
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,結(jié)合圖形作答.
解答:①b=0,c>0時(shí),f(x)=x|x|+c=
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,如圖①,曲線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),
所以方程f(x)=0 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,正確.
②c=0時(shí),f(x)=x|x|+bx,顯然是奇函數(shù).
③當(dāng)c=0,b<0時(shí),如圖②,f(x)=x|x|+bx=
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,
方程f(x)=0可以有三個(gè)實(shí)數(shù)根.
綜上所述,正確命題的序號(hào)為①②.
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點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的奇偶性,方程根的個(gè)數(shù)判斷,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.