Question

已知為奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{a_n}，，求數(shù)列{a_n²}的通項(xiàng)公式；
（3）已知，設(shè)S_n為b_n的前n項(xiàng)和，證明：．

Answer 1

解：（1）為奇函數(shù)
∴，
∴a=0
又f（x）過點(diǎn)，
∴，∴b=1
∴
（2）∵
∴∴
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴∴
（3）由（2）知：
∴
∵
∴
分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到a的值，根據(jù)函數(shù)過一個(gè)定點(diǎn)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果．
（2）根據(jù)條件寫出數(shù)列的遞推式，下面整理數(shù)列，通過配湊整理出數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，寫出數(shù)列通項(xiàng)，變形整理出結(jié)果．
（3）根據(jù)條件寫出新數(shù)列的通項(xiàng)，觀察新數(shù)列分母的結(jié)構(gòu)，整理出可以應(yīng)用裂項(xiàng)的方法來解題，用裂項(xiàng)做出數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用分析法寫出要證的不等式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造正確的新函數(shù)，判斷出所給的數(shù)列是一個(gè)特殊的數(shù)列，本題是一個(gè)可以作為壓軸題目出現(xiàn)的題目．