【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實(shí)數(shù)取值的集合；

（2）證明：

【答案】（1）.（2）見證明

【解析】

（1）,討論當(dāng)和時(shí)函數(shù)單調(diào)性求最小值即可求解；（2）由（1），可知當(dāng)時(shí)，，即在恒成立. 要證，只需證當(dāng)時(shí)，.構(gòu)造，證明即可

（1）由已知，有.

當(dāng)時(shí)，，與條件矛盾；

當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞減；

若，則，單調(diào)遞增.

∴在上有最小值

由題意，∴.

令.∴.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

∴在上有最大值.∴.

∴.

∴，∴，

綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取值的集合為.

（2）由（1），可知當(dāng)時(shí)，，即在恒成立.

要證，

只需證當(dāng)時(shí)，.

令.則.

令.則.

由，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

而，，

∴，使得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

又，，

∴對(duì)，恒成立，即.

綜上所述，成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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②若，，則；

③若，，，則；

④若，，，則．

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