Question

已知橢圓，試確定m的范圍，使橢圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱．

Answer 1

答案：
解析：

本題重在考查橢圓的幾何性質(zhì)、對(duì)稱問(wèn)題．先設(shè)出兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，代入橢圓方 程，兩式相減，然后由橢圓的幾何性質(zhì)解題． 　　如圖所示，設(shè)橢圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于l：y=4x+m 　　對(duì)稱 　　則 　　 　　 　　因?yàn)?/span> 　　所以 　　再設(shè)AB的中點(diǎn)M(x0，y0) 　　則y1+y2=2y0，x1+x2=2x0 　　從而有y0=6x0　　　　　　　　　　　　　 ① 　　又M在l上，所以y0=4x0+m　　　　　　�、� 　　由①、②得 　∵　要使橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱，從而點(diǎn)M(，3m)在橢圓內(nèi)部． 　　∴　＜1 　　即+3m2＜1 　　m2＜ 　　∴　-＜m＜ 說(shuō)明：本題利用在橢圓上兩點(diǎn)得到等式相減，可以轉(zhuǎn)化為有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，這是很重要的方法，另外P(x0，y0)在橢圓內(nèi)部＜1．